活用等差中项巧解题
安徽省灵璧县黄湾中学（234213） 华腾飞
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大家都知道等差中项是指：若三个数a, A, b成等差数列，则称A是a, b的等差中项。设d为其公差，则a = A – d, b = A + d。当所涉题目中含有或隐含上述条件时，对于此类问题如果同学们能够灵活地运用以上结论探求解题思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且还能避免繁杂的运算，优化解题过程，提高解题速度和效度。
一 巧求函数值
例1 已知实数x , y满足3x + 4y – 12 = 0 , 求xy的最大值.
解析 设3x = 6 + d , 4y = 6 – d , 则xy = , 从而当d = 0时, xy取最大值3.
例2 已知a , b , x , y∈R+ , 且 (a , b为常数) , 求S = x + y的 最小值.
解析 设 , , 代入 , 整理得4d2 – 4 (a – b)d + 2 (a + b)S – S2 = 0 .
∵d ∈ R , ∴16(a – b )2 – 16 [2 (a + b)S – S2 ] ≥ 0 , 解之得 ,
∴x + y的最小值为 .
二 巧证条件等式
例3 若a + b + c = 0 , a3 + b3 + c3 = 0 . 求证: a2013 + b2013 + c2013 = 0 .
证明 由a + b = - c , 可设 , , 代入a3 + b3 + c3 = 0 , 整理得 , ∴c = 0或 .
当c = 0时, a = - b , ∴a2013 + b2013 + c2013 = 0 .
当 时, a = 0 , c = - b或b = 0 , a = - c , 仍有a2013 + b2013 + c2013 = 0 .
