1．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围
解：(1)f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)．
由题意知解得
所以a＝1，b＝3e．
(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，
函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)．
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，所以u(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，所以u(x)在(1，＋∞)上单调递增；
当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e．
又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，
所以实数m的取值范围为{m|－e<m<0}．
2．已知函数f(x)＝ln x－，m∈R，讨论f(x)的零点个数．
解：函数f(x)＝ln x－的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝．
令g(x)＝x2＋(2－2m)x＋1，
当m≤1时，因为x∈(0，＋∞)，
所以g(x)＝x2＋(2－2m)x＋1＞0，
所以f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝0，所以f(x)有且只有1个零点．
当1＜m≤2时，Δ＝4m2－8m＝4m(m－2)≤0，
所以f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(1)＝0，所以f(x)有且只有1个零点．
