1．(2022·青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为＋＝1．
又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1．
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1．
(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．
由Δ＞0得0≤k2＜，从而x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|MN|＝|x1－x2|＝2．
∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝，
∴△F2MN的面积为S＝|MN|·d＝3．
令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，
∴S＝3＝3＝3＝3 ，
当＝即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±．
∴当直线l的斜率为±时，可使△F2MN的面积最大，其最大值．
