1．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，焦距为2，过F2作斜率存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知弦AB的垂直平分线l′交x轴于点P，求证：|AB|＝4|PF2|．
解：(1)由焦距为2，即2c＝2，得c＝1，结合椭圆的定义知：△F1AB的周长4a＝8，得a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3，即椭圆C的方程为＋＝1．
(2)证明：设直线l的方程为x＝my＋1，m≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ>0恒成立，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝，
∴AB的中点为，即，
∴线段BA的垂直平分线l′的方程为y＝－m－，即y＝－mx＋，
令y＝0，得x＝，∴xP＝，
∴|PF2|＝|1－xP|＝＝，
而|AB|＝|y1－y2|＝＝＝，
∴＝＝＝4，即|AB|＝4|PF2|．
