1．(2021·全国甲卷)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围．
解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a2x＋a－＝＝，
则当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f，
要使y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，只需f(x)的最小值恒大于0，即f>0恒成立，
故a2·2＋a·－3ln ＋1>0，得a>，
所以a的取值范围为．
2．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x＋a2(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数y＝f(x)只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
当0<a<1时，由f′(x)>0⇒0<x<a或x>1，所以f(x)在(0，a)，(1，＋∞)上单调递增，
由f′(x)<0⇒a<x<1，所以f(x)在(a,1)上单调递减；
当a>1时，由f′(x)>0⇒0<x<1或x>a，所以f(x)在(0,1)，(a，＋∞)上单调递增，由f′(x)<0⇒1<x<a，所以f(x)在(1，a)上单调递减；
当a＝1时，f′(x)＝≥0⇒f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
