题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为.每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．
(1)若m＝2，求分数X的分布列与均值．(若结果不为整数，用分数表示)
(2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1)＝.
①求G(2)；
②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若没有，请说明理由．
解 (1)进行一次试验，
获得0分的概率为×＋×＝，
获得1分的概率为×＝，
获得2分的概率为×＝，
进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝3)＝××2＝，
P(X＝2)＝××2＋×＝，
P(X＝1)＝××2＝，
P(X＝0)＝×＝.
