题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 (2022·湖北九师联盟模拟)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分)，将不低于50分的考生的成绩分为5组，即[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制频率分布直方图如图所示，其中在[90,100]内的人数为3.
(1)求a的值，并估计不低于50分考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)现把[50,60)和[90,100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上，并放在盒子内，现从盒中随机抽取2个小球，若取出的两人成绩差不小于30，则称这两人为“黄金搭档组”．现随机抽取4次，每次取出2个小球，记下考号后再放回盒内，记取出“黄金搭档组”的次数为X，求X的分布列和均值E(X)．
解 (1)由题意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，
不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分)．
(2)在[90,100]上的频率为0.005×10＝0.05，由条件得总人数为＝60，
所以在[50,60]内的人数为60×0.1＝6，每次抽取出‘黄金搭档组”的概率P＝＝，
因此X～B，
P(X＝0)＝C×0×4＝，
P(X＝1)＝C×1×3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×1＝，
P(X＝4)＝C×4×0＝，
