题型一 将不等式转化为函数的最值问题
例1 已知函数g(x)＝x3＋ax2.
(1)若函数g(x)在[1,3]上为单调函数，求a的取值范围；
(2)已知a>－1，x>0，求证：g(x)>x2lnx.
(1)解 由题意知，函数g(x)＝x3＋ax2，
则g′(x)＝3x2＋2ax，
若g(x)在[1,3]上单调递增，
则g′(x)＝3x2＋2ax≥0在[1,3]上恒成立，
则a≥－；
若g(x)在[1,3]上单调递减，
则g′(x)＝3x2＋2ax≤0在[1,3]上恒成立，
则a≤－.所以a的取值范围是∪.
(2)证明 由题意得，要证g(x)>x2ln x，x>0，
即证x3＋ax2>x2ln x，即证x＋a>ln x，
令u(x)＝x＋a－ln x，x>0，
可得u′(x)＝1－＝，x>0，
当0<x<1时，u′(x)<0，函数u(x)单调递减；
当x>1时，u′(x)>0，函数u(x)单调递增．
所以u(x)≥u(1)＝1＋a，
因为a>－1，所以u(x)>0，
故当a>－1时，对于任意x>0，g(x)>x2ln x.
