题型一 探索性问题
例1 (2022·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，且·＝3.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设双曲线C的焦距为2c.
由双曲线C的离心率为2知c＝2a，
所以b＝a，
从而双曲线C的方程可化为－＝1.
由题意知，l：y＝x＋，
联立
得2x2－2x－6－3a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为Δ＝(－2)2－4×2×(－6－3a2)
＝72＋24a2>0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝－3－a2.
因为·＝3，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋)(x2＋)＝3，
于是2x1x2＋(x1＋x2)＋6
＝2×＋×＋6＝3，
解得a＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
