题型一 定点问题
例1 (2022·黄山质检)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1·e2＝1.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的右焦点为F，动直线l(l不垂直于坐标轴)交椭圆C1于M，N不同的两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝－k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
解 (1)由题意知，
椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，
其短轴长为2，可得b＝，椭圆的离心率为e1，
双曲线C2：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，
即＝，即＝3，
所以离心率为e2＝＝＝2，
且e1·e2＝1.
