类型一 定值问题
已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，－)，直线AF2的倾斜角为60°，原点O到直线AF2的距离是a2．
(1)求E的方程；
(2)过E上任一点P作直线PF1，PF2分别交E于M，N(异于P的两点)，且＝m，＝n，探究＋是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
解：(1)由题意，点A(0，－)，直线AF2的倾斜角为60°，所以c＝1．
在Rt△AOF2中，求得点O到直线AF2的距离是．
又由原点O到直线AF2的距离是a2，则a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1，
故E的标准方程为＋y2＝1．
(2)①当点P为椭圆右顶点时，＝＝，＝＝，所以＋＝6．
②当点P为椭圆左顶点时，同理可得＋＝6．
③当点P不为椭圆的左、右顶点，即直线PM，PN的斜率均不为零时，
设直线PM的方程是x＝－1＋ry，直线PN的方程是x＝1＋sy．
分别代入椭圆方程＋y2＝1，
可得(r2＋2)y2－2ry－1＝0和(s2＋2)y2＋2sy－1＝0．
设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y0y1＝－，y0y2＝－．
由＝m，可得y1＝－my0，则＝－＝y(r2＋2)．
由直线PM的方程x＝－1＋ry，可得r＝，
所以＝y(r2＋2)＝(x0＋1)2＋2y＝3＋2x0．
由＝n，同理可得＝3－2x0，所以＋＝6为定值．
综上所述，＋为定值6．
