考点1 移项作差构造函数证明不等式——综合性
已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)求证：当x>0时，x2x．
(1)解：f′(x)＝ex－a，因为f′(0)＝－1＝1－a，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2．
令f′(x)＝0，解得x＝ln 2．
当xf′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x>ln 2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，函数f(x)取得极小值，为f(ln 2)＝2－2ln 2，无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x．
由(1)可得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
所以g(x)在R上单调递增，
因此，当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，所以x2x．
