【典例1】 为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建成太空升降机，就是把长绳的一端固定在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳使升降机能到达地球，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉回卫星，已知地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，地球半径R＝6 400 km。地球自转周期为T。求：
(1)某人在地球表面用体重计称得重力为800 N，站在升降机中，当升降机以加速度a＝g(g为地球表面处的重力加速度)垂直地面上升，在某一高度时此人再一次用同一体重计称得重力为850 N，忽略地球自转的影响，求升降机此时距地面的高度。
(2)如果把绳的一端固定在同步卫星上，绳的长度至少为多长？(结果用g、R、T表示)
[解析] (1)人的质量m＝Gg＝80010kg＝80 kg，
人在升降机中以加速度a＝g垂直地面上升时，
FN－mg′＝ma，解得g′＝58 m/s2＝116g，
由万有引力与重力加速度的关系得GMmR2＝mg、GMm（R＋h）2＝mg′，
解得h＝3R＝1.92×107 m。
(2)设H为同步卫星的高度，同步卫星所受万有引力充当向心力，则GMm（R＋H）2＝m4π2T2(R＋H)，
解得H＝3gR2T24π2－R，即绳长至少为3gR2T24π2－R。
[答案] (1)1.92×107 m (2)3gR2T24π2－R
