7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像
[填一填]
1．正弦函数的性质与图像
2.周期函数
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)是它的周期，最小正周期是2π.
3．“五点法”作图
在函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像上起关键作用的点主要有五个：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状就基本确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种作图方法，就叫五点(画图)法．利用周期性可画出完整的正弦曲线．
[答一答]
1．如何理解周期和周期函数？
提示：(1)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x值而言都能使它成立，T是函数f(x)的周期，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，如sin＝cos＝sin，但sin≠sin，因此不是sinx的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应注意的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，但T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f＝f(2x)，是f(2x)的周期．
(3)周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈Z且k≠0)一定也是该函数的周期，则x＋kT也一定在定义域内，因此周期函数的定义域 一定是无限集，也就是说定义域一定无上界或无下界．
(4)若无特别说明，我们所说的周期一般指最小正周期．
(5)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝c(c为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是c，即对于函数f(x)的定义域内的每一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)＝c，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合没有最小的，所以f(x)没有最小正周期．
(6)要证明非零数T为函数的一个周期，只需在定义域找到这样一个常数T，使对定义域内的任意的x值都有f(x＋T)＝f(x)即可．
