习题课3 竖直面内的圆周运动问题
[学习目标] 1.[科学思维]了解竖直面上圆周运动的两种基本模型． 2.[科学思维]掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析． 3.[科学思维]学会分析圆周运动问题的一般方法．
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竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
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轻绳模型(如图所示)的最高点问题
1．绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．
2．在最高点的动力学方程FT＋mg＝m.
3．在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，则v＝.
v＝时，拉力或压力为零．
v＞时，小球受向下的拉力或压力．
v＜时，小球不能达到最高点．
即轻绳模型的临界速度为v临＝.
【例1】 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小．
思路点拨：在最高点水不流出的临界条件为只有水的重力提供向心力，水与水桶间无弹力的作用．
[解析] (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．
此时有：mg＝m，
则所求的最小速率为：
v0＝≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，代入数据可得：FN＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.
[答案] (1)2.24 m/s (2)4 N
[跟进训练]
1．如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A． B．2 C. D．
C [小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝，选项C正确．]
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竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
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1．最高点的最小速度
如图所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
2．小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况
(1)v＞，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大．
(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.
(3)0＜v＜，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小．
【例2】 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g取10 m/s2)
