小专题六 电磁感应中的“杆+导轨”模型
1.模型分类
“杆+导轨”模型分为“单杆”型和“双杆”型;导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜三种;杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等;磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等。情景复杂,形式多变。
2.分析方法
通过受力分析,确定运动状态,一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等,再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。
[典例1] 如图,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ,两导轨间距为L。导轨上端接有一平行板电容器,电容为C。导轨处于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒,棒可沿导轨下滑,且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑。求:
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系;
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
解析:(1)设金属棒下滑的速度大小为v,则感应电动势为
E=BLv①
平行板电容器两极板之间的电势差为
U=E②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q,则
C=
③
联立①②③式得
Q=CBLv。④
(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t,通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上,大小为
f1=BLi⑤
设在时间间隔(t,t+Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ,按电流的定义有
i=
⑥
ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t,t+Δt)内增加的电荷量。
由④式得
ΔQ=CBLΔv⑦
式中,Δv为金属棒的速度变化量。
按加速度的定义有
a=
⑧
金属棒所受到的摩擦力方向斜向上,大小为
f2=μN⑨
式中,N是金属棒对于导轨的正压力的大小,有
N=mgcos θ⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下,设其大小为a,根据牛顿第二定律有
mgsin θ-f1-f2=ma
联立⑤至
式得
a=
g
由式及题设可知,金属棒做初速度为零的匀加速运动。
t时刻金属棒的速度大小为
v=gt。
答案:(1)Q=CBLv (2)v=gt
变式1:如图所示,两平行导轨间距L=0.1 m,足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接,倾斜部分与水平面的夹角θ=30°,垂直斜面向上的磁场的磁感应强度B=0.5 T,水平部分没有磁场。金属棒ab质量m=0.005 kg,电阻r=0.02 Ω,运动中与导轨良好接触,并且垂直于导轨,电阻R=0.08 Ω,其余电阻不计,当金属棒从斜面上离地高h=1.0 m以上任何地方由静止释放后,在水平面上滑行的最大距离x都是1.25 m。(取g=10 m/s2)求:
(1)棒在斜面上的最大速度。
(2)水平面的动摩擦因数。
(3)从高度h=1.0 m处滑下后电阻R上产生的热量。
