小专题五 带电粒子在磁场中的轨迹分析法
在本章中,经常会遇到这样两类问题,第一类是同样的粒子从磁场边界(如左边界)上某一点射入匀强磁场中时,磁场右边无限宽广,入射方向不变,但速度大小(或磁场磁感应强度大小)发生改变,根据qvB=
可知,R=
,在v或B发生改变时,半径会发生变化,但由于入射方向不变,根据半径跟速度垂直知粒子轨迹的圆心都落在过入射点与入射速度垂直的直线上,相当于圆心在同一直线上的圆的放缩,如图甲,它们从磁场左边界射出时,速度方向互相平行,在磁场中转过的角度相等。第二类是粒子入射速度大小不变,但方向发生变化,同时磁感应强度不变,可知这种情况下,粒子的轨迹半径不变,圆心位于以入射点为圆心、以轨迹半径为半径的圆上,相当于一个固定大小的轨迹圆绕着入射点在旋转,如图乙。
1.放缩圆
[典例1] 两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴,交点O为原点,如图所示。在y>0,0的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,在y>0,x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔,一束质量为m、带电量为q(q>0)的粒子沿x轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2∶5,在磁场中运动的总时间为
T,其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。
解析:粒子在磁场中洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。根据洛伦兹力及向心力公式有
Bqv=,解得粒子运动的轨道半径为r=
。
速度小的粒子将在x的区域中走完半周,射到竖直屏上,半圆的直径在y轴上。在y轴上的荧光屏上亮线范围的临界条件如图所示,带电粒子的轨迹和x=a的分界线相切,此时r=a,在y轴上的最高点为y=2r=2a。所以在y轴荧光屏上亮线的范围为0～2a。
轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场,考虑到r=a的极限情况,这种粒子在右侧的圆轨迹(如图中虚线)与x轴在D点相切,OD=2a,这是x轴荧光屏的亮线的左侧边界。
速度最大的粒子的轨迹如图实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别在C和C′,C在y轴上,由对称性可知C′在x=2a的直线上。
设t1为粒子在0的区域中运动的时间,t2为粒子在x>a的区域中运动的时间,由题意可知
=
,t1+t2=T,
解得t1=
T,t2=
T,
由t1,t2的数值关系用对称性可知∠OCM=∠MC′N=60°,∠MC′P=360°×=150°,所以∠NC′P=90°,即NP为四分之一圆周,因此圆心C′在x轴上,即C′和D重合。设速度为最大值粒子的轨道半径为R,由直角△COC′可得
R=2a,OP=2a+R,
代入数据得到OP=2(1+
)a,
