第6讲 函数与导数
题型一 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题
例1 (13分)(2014·安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
规范解答
解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.[1分]
令f′(x)＝0，
得x1＝，x2＝，x1<x2，
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2).[2分]
当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；
当x1<x<x2时，f′(x)>0.[4分]
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.[5分]
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.[6分]
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，
