“庞加莱猜想”是法国著名数学家亨利－庞加莱在1904年所发表的一组论文中所提出来的，当时他认为：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”后又被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”
“庞加莱猜想”的具体内容是：“如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。”大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，而三维的情况一直以来困扰着全世界的数学家们为之不懈的奋斗。
亨利－庞加莱(Henri Poincaré)的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
2006年6月3日，世界著名数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐在北京宣布庞加莱猜想已被朱熹平、曹怀东彻底破解。