由于完美数有许多有趣的性质和无与伦比的魅力，2500多年来一直吸引着众多的数学家和业余数学爱好者对它进行探究。迄今为止，人类仅发现47个完美数，而且都是偶完美数。至于偶完美数是否无穷和有没有奇完美数，至今没有定论；这已成为数学中的著名难题。
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完美数时提出：如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数)，则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完美数都有这种形式。因此，人们只要找到2^P-1型素数，就可以发现偶完美数了。
数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime)，因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时已知的最大素数。第8个偶完美数——2^30(2^31-1)也由此而来。欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”
值得提出的是：在梅森素数的基础研究方面，法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献；以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外，中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找梅森素数提供了方便；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会(EFF)曾向全世界宣布了为通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为：超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。当然，绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于兴趣、荣誉感和探索精神。
美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯通过参加GIMPS项目，于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素数2^43112609-1；该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位；如果用普通字号(4号)将它连续打下来，其长度可超过50公里！人类也因此发现了迄今已知的最大偶完美数——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。前不久，他获得了EFF颁布的10万美元大奖。