教学设计
数学抽象概括能力是数学思维能力之一，也是数学能力的核心。它具体表现为对事物概括的独特能力，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。
在数学抽象概括能力方面，不同数学能力的学生有不同的差异。具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作。所以，对于身心日趋成熟的高中学生来说，教师要有意识地在教学中培养学生的抽象概括能力。
本课时就是安排在高一学生在进行一个月的函数学习和思维训练以后，作为一个函数复习内容出现。同样一个内容，在高三讲解时，教师侧重于该类型问题的解答方法等。但是作为高一学生，我觉得着眼点应该在于学生对函数性质的操作运用，也就是说，这节课应该以让学生进一步复习掌握函数的性质作为主要目的，其次才是试图通过这节课让学生开始对数学的抽象思维略作尝试。
而对于这堂课的思考是基于学生对于函数理解的思维习惯引入的，因为高一学生的对函数的理解是这样的：
高一新生原有的储备知识：一次函数、反比例函数、二次函数；进入高一后进一步学习二次函数、 型函数；在了解了这些具体函数以后，开始研究函数的性质；而函数性质的总结就是为今后学习更多的具体函数：幂、指、对函数和三角函数等。新教材在这个方面的层次相当明确，其实一种“具体数量关系——抽象模式——具体数量关系”的过程，它即符合学生的思维习惯，又能引领学生踏上“实践——探索——再实践”的思维征程。所以，在高一第三章函数结束、第四章幂、指、对函数开始之前是培养学生抽象思维的大好时机。
在本课设计中，我把本课时分成两条线索进行操作：
在第一条线索中，每一个部分担当不同的角色：
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定义域
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作为学生已经熟知的内容课题引入，引入抽象函数的大致形式。
已知：f(x)的定义域为[1，2]，那么f(2x)的定义域呢？
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求函数值
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让学生懂得“赋值法”，让学生开始了解“任意”这个词在解决问题中的含义。
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奇偶性
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进一步运用刚学过的赋值法，同时让学生凭自己的“感觉”选取特殊值，完成自己的“猜想。”
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单调性
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本节课的难点，也是教师在设计中切入点，为了让学生能够想到凑“x1-x2+x2”、
，我设计了大段开放式的问题，收到了一定的效果。
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在例1中我把所有上述元素融入其中，在第一问题中就使学生想到很多有价值的结论，为后来几个问题解决作了铺垫。而例2作为一个练习把例1中学到的内容作为一个复习和总结，因为我认为，一个发散性问题是需要做一定总结和归纳。在备课时，对例1、例2的先后问题，我也作了一定的考虑，本节课的编排应该是违背了“先易后难”、“循序渐进”的教学基本原则。
可是出于两方面的考虑：其一、因为第一个抽象函数原形是学生尚未学习的对数函数、而第二个是学生已经熟悉的正比例函数。如果刚上来就用一个学生熟悉的函数，那学生在思维中会有一定的思维定势，阻碍了其抽象性思维的发挥。其二、为了顺理成章地引入这部分内容后紧接着的对照表。因此，经过反复的思考，还是采取了这样一种顺序和层次。
作为第一部分的总结：让学生体会到“具体数量关系——抽象模式——具体数量关系”，我设计了一个抽象函数性质与具体函数模型的对照表，当然因为学生还未学习 “幂、指、对函数”和“三角函数”，可能这张表格的意义还不大，但是作为教师，只需让学生达到“实践——探索——再实践”的目的即可。
在第二条线索中，通过学生对图象的理解来解决问题。目的也有几点：
（一） 跳出所谓“抽象函数”就是例1、例2的固定模式，问题可以以各种形式出现，而最终目的就是让学生学会在已经学习的知识上构建新的元素，解决问题。
（二） 复习性质与图象的相互运用，并注意作图的规范和细节。
（三） 在图象中解决不等式问题，进一步深化数形结合的数学思想，当然这个内容不是本节课的重点，但是我还是有意识地在每节课中渗透有关数学思想。这一点符合高中二期课改中知识与技能目标中的“对数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用有积极的体会”[1]这一要求。
教案实录
教学目标：
知识与技能目标：
通过本节课对函数一个章节中定义域、值域、奇偶性和单调性以及函数图象的复习，在教学中培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、类比发现能力和数形结合能力。
过程与方法：
运用数学抽象、探索和应用的基本方法：掌握观察、操作、比较、分析、类比、归纳等数学实验研究的方法和利用图表整理数据、获取信息的方法。具有抓住现实事物的本质、进行数学的抽象与概括的经历和经验，形成一定的能力。掌握“从特殊到一般”、“从一般到特殊”以及“转化”等思维策略。
情感态度与价值观目标：
通过积极参与数学学习和问题解决的活动，逐步增强主体意识、批判意识和合作意识，形成数学的应用意识和综合意识，养成批判性思维的习惯、一丝不苟的作风和锲而不舍的精神。
教学重点：
（1） 抽象函数的奇偶性和单调性的证明。
（2） 根据条件设想具体函数，具体图象。
教学难点：
（1） 赋值法和一些证明方法的运用。
（2） 根据已知条件探求未知结论。
教学流程：
教具：多媒体设备
教学过程：
一、分析抽象函数性质的常用方法：
例1：函数f(x)对于任何a,b为正实数,恒有f(ab)=f(a)+f(b).你能想到什么结论吗?
（1）若f(8)=6,可以求出哪些函数值,或联想到哪些结论?
（2）若f(x)的定义域改成:x∈（-∞，0）∪（0，+ ∞）,恒有f(ab)=f(a)+f(b),你能想到什么结论?
（3）若x>1时，f(x)<0,你又能发现这个函数的什么性质?
例2：已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）.
（1） 试确定这个函数的奇偶性.(奇函数)
（2） 当x＞0时，f（x）＞0,试确定该函数的单调性.（单调增）
（3） f（－1）＝－2，求f(x)在区间[－2，1]上的最值.（-4和2）
（4） 你能找到这个具体函数模型吗?
二、设想具体函数或具体图象解决问题：
例3：若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(-3)=0，解不等式xf(x)<0。
（答案：（-3，0）∪（0，3））
例4:设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)
课后反思
本节课的亮点：
1．由教师引导，学生探索解决问题的方法和途径。由于抽象函数在解决奇偶性判断、和单调性判断方面分别用到了学生不太熟悉的“赋值法”和“添加项”等方法，所以在传授时会遇到很大的困难。为了让学生能自己发现、自己探索。我设计了具有开放性质的例1，由此不仅能自然引出后面两种方法，同时促进学生观察、操作、比较、分析、类比、归纳等数学实验研究的方法的掌握。
2．探索本课题内容在高一阶段的实施情况。抽象函数这个内容在高一阶段可作为一个拓展内容开展，它的目的是为了让学生在初步学习完函数知识后，进一步加深对函数符号“f( )”的理解。因为，很多老师都有相同的体会，在引导学生学习函数的三要素时，定义域、值域这两个内容学生很好理解，但是对于对应法则，就是指这个“f”很难解释，所以为让学生大致理解，只能解释为一种关系，甚至是一个具体的解析式，大不了在后面拖一句：“当然很多函数关系也没有具体的解析式”等等的话。所以，为了让学生更好的掌握“f( )”这个抽象符号，我们可以利用本章内容让学生加深对该符号的理解和运用。所以，可能很多老师或学生觉得本章内容对高一学生偏难，但是作为教师可以以“复习函数性质为主要目标”完成这节课的教学。
本节课的遗憾：
本节课尽管教师设计了一些适合学生自主发现的结论的问题，而且学生之间在教师的引导下也能相互启发。但是学生自主活动在这节课中体现不够，所以在今后上此类课时，还是值得多加思考的。
数学教学中如何培养学生的抽象概括能力呢？我们认为从以下几方面入手：
1.教学中将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来，概括为特定的一般关系和结构，做好抽象概括的示范工作，要特别注意重视"分析"和"综合"的教学。
2.在解题教学中要注意去发掘隐藏在各种特殊细节后面的普遍性，找出其内在本质，善于抓住主要的、基本的和一般的东西，即教会学生善于运用直觉抽象和上升型概括的方法。
3.培养学生概括的习惯，激发学生概括的欲望，形成遇到一类新的题时，经常把这种类型的问题一般化，找出其本质，善于总结。
4.培养学生的抽象概括能力是长期艰苦的工作，在教学中要随时注意培养，有意识地根据不同情况严格训练和要求，逐步深入，提高要求。
参考文献：
《中学新课标资源库•数学卷》，北京工业大学出版社，2004.2
《上海市中小学数学课程标准》，上海教育出版社，2004.10第2版
马小伯、周英隽、李瑾:《都是f()惹的祸》，上海交通大学出版社，2004.1
任樟辉:《数学思维论》,广西教育出版社,1990.9